大学院創成科学研究科の博士前期課程 基盤科学系専攻 数理科学コースの前期の科目に「基盤科学系特論」があります. 物理, 情報, 数学の3つの分野の教員が講義します. 7月6日の「基盤科学系特論」は私が当番でした. 物理, 情報の学生も履修する科目ですから, 一体何を話そうかと悩みましたが, 私が大学1年生のころから思い入れのあるオイラーの定数 \(C\) に関する話をしました. しかし, 実際にはオイラーの定数 \(C\) は出てきません.

オイラーの定数 \(C =0.57721\cdots \) は

\begin{eqnarray}
C:=\lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n \right)
\end{eqnarray}

と定義されます (収束については, 例えば, 高木「解析概論」p.149, 150 を見てください. 数理科学科の微分積分の講義にも出てくると思います.). 7月6日の「基盤科学系特論」では, B.C. Berndt 著 `Ramanujan’s Notebooks Part I’ にある \( \log 2 \) についてのラマヌジャンの公式を紹介しました：

ラマヌジャンの公式
\begin{eqnarray}
\frac{4}{3}\log 2 =1 +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{k}}{(2k)^{3}-3k}.
\end{eqnarray}
(Ramanujan’s Notebooks Part I, p.31, Example 6.)

ラマヌジャンは, 次の \(\varphi(a,n)\), \(\varphi(a)\) を考察しています.

\(a\geq 2\), \(n\geq 1\) を整数とし
\begin{eqnarray}
\varphi(a,n)&:=& 1+2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(ak)^{3}-ak}\\
\varphi(a) &:=& \lim_{n\to\infty} \varphi(a,n)
\end{eqnarray}

とします. \(a=3\), \(a=6\) について, ラマヌジャンは

\begin{eqnarray}
\varphi(3) &=& \log 3\\
\varphi(6) &=& \frac{1}{3}\log 4 +\frac{1}{2}\log 3
\end{eqnarray}

を得ていますが, これらの証明として, Berndt の本には, オイラーの定数 \(C\) を用いた証明が述べられています. 先ず, \(\varphi(3,n)\) を

\begin{eqnarray}
\varphi(3,n)=\sum_{k=1}^{3n+1}\frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}
\end{eqnarray}

を示し, そして, これを

\begin{eqnarray}
\varphi(3,n) &=& \left(\sum_{k=1}^{3n+1}\frac{1}{k} -\log (3n+1)\right)\\
& & -\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)\\
& & +\log \frac{3n+1}{n}
\end{eqnarray}

と変形します. \(n\to\infty\) とすれば

\begin{eqnarray}
\varphi(3) &=& \lim_{n\to\infty}\varphi(3,n)\\
&=& C -C +\log 3 \\
&=& \log 3
\end{eqnarray}

となります. \(\varphi(6)\) については

\begin{eqnarray}
\varphi(6,n)
&=&\sum_{k=1}^{6n+1}\frac{1}{k} -\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{3n}\frac{1}{k}\\
& & -\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}
-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}
\end{eqnarray}

を示し, やはり, オイラーの定数 \(C\) を用いて

\begin{eqnarray}
\varphi(6) &=& \lim_{n\to\infty} \varphi(6,n)\\
&=& C -\frac{1}{2}C -\frac{1}{3}C -\frac{1}{6}C \\
& & +\frac{1}{3}\log 4 +\frac{1}{2} \log 3 \\
&=& \frac{1}{3}\log 4 +\frac{1}{2}\log 3
\end{eqnarray}

となります. いずれの場合も, オイラーの定数 \(C\) は現れて, 直ぐに消えます. とてもきれいな証明です (実際のラマヌジャンのノートにある証明はこれとは異なるようです.).

一方で, \(\varphi(a,n)\) の定義を用いて

\begin{eqnarray}
& & 2\varphi(6,n) -\varphi(3,n)\\
& &= 1 +\sum_{k=1}^{2n} \frac{2(-1)^{k}}{(3k)^{3}-3k} +O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)
\end{eqnarray}

を示し, \(n\to\infty \) として

\begin{eqnarray}
2\varphi(6) -\varphi(3) =1 +\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k}}{(3k)^{3}-3k}
\end{eqnarray}

であることがわかります. 左辺に, 上に述べた \(\varphi(3)\), \(\varphi(6)\) の表示を用いると, 最初に述べたラマヌジャンの公式

\begin{eqnarray}
\frac{4}{3}\log 2 = 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k}}{(3k)^{3} -3k}
\end{eqnarray}

が得られます. この等式には, オイラーの定数 \(C\) はありませんが, 今述べたように, その証明には \(C\) が活躍しています. 命題の主張だけ見て「まぁ, ステキ!」と思うことはよくあることですが, 実際に証明を読むと, 証明を理解すると, その命題に親しみを覚えると思います. ハーディの`Ramanujan’ というタイトルの本の p. 12 に, リトルウッドが「すべての正整数はラマヌジャンの友人である」と言ったと書かれています. 人間同士の友好関係も難しいのに, 正整数と友好関係にあるとは, ラマヌジャンの努力は大変なものだったと思います. \( \log 2 \) や \( C \) もラマヌジャンの友人だったのかも知れません.

数理科学科の学生の皆さんも, 講義に出てくる証明に何度もチャレンジして, 命題に親しみを覚えてほしいと思います. もちろん, 休憩するのも忘れずに. (南出)

参考文献

• 高木貞治 「解析概論」改定第三版, 岩波書店, 1961年. (オイラー定数 (p.149, p.150))

• Bruce C. Berndt `Ramanujan’s Notebooks Part I’, Springer, 1985. (p.23-p.31)

• G. H. Hardy `Ramanujan’ AMS, 2002. (p.12)