山口大学理学部数理科学科の3年生後期の必修科目に「数理科学発展セミナー」(4単位)があります. これは4年生の卒業研究(正式には「特別研究」です. 10単位もあります.) の前段階のような科目です. これを履修するためには「一年生の必修科目の単位をすべて修得している」などの条件を満たしている必要があります. また, 「数理科学発展セミナー」の単位を修得しないと, 4年生に進級できませんので, 1, 2年生のみなさんは気を付けて下さい. 留年は精神的ダメージが大きいです. その上, 親御さんからも怒られます. きっと.

「数理科学発展セミナー」は週に二コマありますが, 一コマは「幾何」, 「解析」, 「代数」のクラスに分かれて, もう一コマは各研究室に分かれて行われます. 代数のクラスでは, 3年生前期の科目「代数学」で学んだ群論についての演習です. 教材は英語で書かれた本ですが, 解答は日本語で書きますので, ご安心ください. 解答を英語で書かれると, 採点する私も困る. 大学院修士課程に進むと英語で書かれた論文や本を読むことになると思いますので, 群論の勉強だけではなく, 英語の練習にもなるかと思います. ある文庫本に, 日本の大学に勤める日本人の学者は, 日本語で論文を書くことができる, このように英語で論文を書かなくて済むという状況は極めて特殊で恵まれている, というようなことが書かれていました. 数学はそうではないと私は思います. 事実, 数学の論文の多くは英語で書かれています. 少し古い論文になると, ドイツ語, フランス語, ロシア語で書かれていることも少なくありません. 先日, 私は総合図書館からロシア語で書かれた数学の本の英訳本を借りてきました (日本語訳はないし, そもそも私は英語も怪しいのにロシア語なんて無理!). 大学院進学を考えている数理科学科の学生さんは英語を鍛えておいた方がいいです. 私は大学院生のときに, 外国人の先生に「君は数学の勉強の前に英語を勉強した方がいい」と英語で言われてしまいました. 近くにいた日本人の先生が「まぁ, ラジオ講座を聞くとか…」と慰めてくれました. 中学生・高校生のとき, ラジオ講座を聞いていたはずなのですけどね. 大学に勤める今でも, 英語はかなりヘタクソですけど, 生きていくためには頑張って英語を読み書きするしかありません. 松本清張は戦争中に危険を冒して敵性語である英語を勉強していたそうです. 復員後も, 英語の勉強を続けたそうです. 昨年度の私の研究室の大学院生の一人は, ドイツ語で書かれた数学の論文を読みました. 学生が一生懸命に取り組んでいるので, 自分が大学院生のとき, ドイツ語論文を読もうとして, 直ぐに読むのを諦めた, とは言えませんでした.

「数理科学発展セミナー」のもう一コマは各研究室でセミナーが行われます. 私の研究室では英語で書かれたテキストでセミナーを行うことが多いです. 今年度は, P.T. Bateman と H.G. Diamond の共著 `Analytic Number Theory’ をテキストにしました. 5名の学生たちは

`arithmetic function’ は日本語でどう訳すの?
`an algebra \(\mathscr{A}\) over \(\mathbb{C}\)’ は何?
`Deduce that \(\mathscr{A}\) has no zero divisors.’ って書いてあるけど…

などなど英語と数学に奮闘しています. 10月のセミナーは以下のような内容です：

自然数上で定義された複素数値関数 \(f \) を数論的関数と呼びます. 数論的関数全体の集合を \(\mathscr{A}\) と記し, 加法とスカラー倍を次のように定義します.

(1) \(f\), \(g \in\mathscr{A}\) について, \((f+g)(n):=f(n)+g(n)\),
(2) \(f\in \mathscr{A}\), \(\lambda \in \mathbb{C}\) について, \((\lambda f)(n):=\lambda f(n)\).

このようにすると, \(\mathscr{A}\) は \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間になります.

さらに

(3) \(f\), \(g\in\mathscr{A}\) について, \(\displaystyle(f * g)(n):=\sum_{jk=n}f(j)g(k)\) とする. ただし, \(j\), \(k\) は正整数である.

とすると, \(\mathscr{A}\) は \(\mathbb{C}\) 上の代数になります.

そして, \(\mathscr{A}\) には零因子がないことがわかります.

ベクトル空間の定義を思い出したり, 零因子の定義を思い出したりと, 数学用語の定義を振り返ることが多いセミナーでした. 定義は議論の大前提です. ベクトル空間は, 1, 2年生の線型代数学の講義 (「線型代数学基礎I」, 「線型代数学基礎II」, 「線型代数学I」, 「線型代数学II」) でみっちり勉強します. 零因子は, 3年生後期の環や体の講義 (「代数学展開」) に出て来ると思います. つい先日のセミナーでは, 微分積分に出て来る各点収束が登場しました. 2年生前期の「微分積分学II」, 後期の「微分積分学III」もけっこうハードです. 高等学校で微分積分を学ぶ意義は計り知れないことがわかります.

私は, 数論的関数の全体の集合 \(\mathscr{A}\) について興味はなく, 個々の数論的関数に興味があります. 例えば, \(\tau(n):=\sum_{d|n}1\) に興味があります. これは約数関数と呼ばれる数論的関数です. セミナーの学生の中には, 素数定理に興味がある人もいるようです. \(x\geq 1\) 以下の素数の個数を \(\pi(x)\) と記すことにします. 素数定理とは次の主張です：

\begin{eqnarray}
\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.
\end{eqnarray}

実数 \(x\) が十分大きいとき, \(\pi(x)\) は \(\frac{x}{\log x}\) で近似されているということです.

これを証明する標準的な方法は, リーマンのゼータ関数

\begin{eqnarray}
\zeta (s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \quad ({\rm Re\,}s>1)
\end{eqnarray}

を用いるものです. それは, 3年生前期の講義「解析学」で学ぶ複素解析をゼータ関数 \(\zeta(s)\) に適用するものです. 複素解析を勉強するには, 1, 2年生で微分積分をみっちり勉強していないといけません. 数理科学科の1年生のみなさんは, 今「微分積分学I」でビシビシ鍛えられているところだと思います. 1年生のみなさん, 頑張ってね.

このように, 「数理科学発展セミナー」では, 数理科学科3年生前期までの講義で学んだことをたくさん用いますので, それらを修得していないと大変苦しい事態になります. 「数理科学発展セミナー」を履修するために「1年生の必修科目の単位をすべて修得している」などの条件があるのは当然なのです. 履修条件は厳しいかも知れませんが, 数学は面白いですので, 必要に応じて講義の復習も嫌がらずにしっかりしてください. 1, 2年生のみなさんは, 3年生になってから泣きを見ないように, 普段からしっかり講義に出席して, 勉強してください. わからないときは, 直ぐに講義担当の教員に聞いてください. 地道に勉強していれば, なんとかなります. 誰もイジメたりしません. (南出)